Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，a₁=2，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是（3n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1=2a_n+3•2ⁿ兩邊同時(shí)除以2ⁿ，從而構(gòu)造出首項(xiàng)為2、公差為3的等差數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$+3，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是首項(xiàng)為2、公差為3的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2+3（n-1）=3n-1，a_n=（3n-1）•2^n-1，
故答案為：（3n-1）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．