Question

已知在非直角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，R為三角形ABC的外接圓半徑，sin（A-C）-cos（B+

π

2

）=2sin2C，2log_Rb=log_Ra+log_Rc
（1）求內(nèi)角B的余弦值
（2）若b=

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）由sin（A-C）-cos（B+

π

2

）=2sin2C及正弦定理化簡(jiǎn)可得a=2c，又由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)b²=ac，從而由余弦定理可求得cosB的值．
（2）由（1）可求得sinB的值，可求得c=

b2 2

的值，從而可求a，從而由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（1）∵sin（A-C）-cos（B+

π

2

）=2sin2C，
⇒sin（A-C）+sin（A+C）=2sin2C
⇒2sinAcosC=4sinCcosC（△ABC為非直角三角形）
⇒2sinA=4sinC
⇒a=2c（正弦定理），
又∵2log_Rb=log_Ra+log_Rc⇒b²=ac．
∴由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3c2

4c2

=

3

4

．
（2）∵由（1）可得：sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
∵由（1）可得：a=2c，b²=ac，故：c=

b2 2

=

6

2

，a=

6

∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

6

×

6

2

×

7

4

=

3 7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，熟練運(yùn)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．