Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，由f′（1）=-1求出a，由f（1）=2，求出b．
（2）寫(xiě)出f（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，列表，即可得到極值．

解答 解：（1）由題意，f′（x）=x²-2ax+a²-1．                     
又∵函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，
∴切線的斜率為-1，即 f′（1）=-1，∴a²-2a+1=0，
解得a=1．                                                  
又點(diǎn)（1，f（1））在直線x+y-3=0上，∴f（1）=2，
同時(shí)點(diǎn)（1，2）在y=f（x）上，∴2=$\frac{1}{3}$-a+（a²-1）+b，
即2=$\frac{1}{3}$-1+（1-1）+b，解得：b=$\frac{8}{3}$，
∴a=1，b=$\frac{8}{3}$．                                                       
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+$\frac{8}{3}$，∴f′（x）=x²-2x，
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，所以有x、f′（x）、f（x）的變化情況表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

由上表可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）；
∴函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)是x=0，極小值點(diǎn)是x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．