Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x+be^-x，（b∈R），函數(shù)g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=-1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-e^-x-2asinx，x∈（0，π），通過討論a的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）$f'（x）={e^x}-b{e^{-x}}=\frac{{{{（{e^x}）}^2}-b}}{e^x}$
①當(dāng)b≤0時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）；
②當(dāng)b＞0時(shí)，減區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{2}lnb）$，增區(qū)間為$（\frac{1}{2}lnb，+∞）$．
（2）由題意得e^x-e^-x-2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-e^-x-2asinx，x∈（0，π）
顯然a≤0時(shí)，e^x-e^-x-2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，
下面考慮a＞0時(shí)的情況：h（0）=0，h′（x）=e^x+e^-x-2acosx，h′（0）=2-2a，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，h′（x）≥0，所以h（x）=e^x-e^-x-2asinx在（0，π）為增函數(shù)，
所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1滿足題意；
當(dāng)a＞1時(shí)，h′（0）=2-2a＜0，又$h'（\frac{π}{2}）＞0$，
所以一定存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，h′（x₀）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x₀），
所以h（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減，所以h（x）＜h（0）=0，
x∈（0，x₀），不滿足題意．
綜上，a取值范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)問題，是一道綜合題．