Question

已知

a

=（3sinx，

3

)，

b

=（cosx，cos²x-

1

2

），函數(shù)f（x）=

a

•

b

，
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）寫出函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（3）求f（x）在[0，

π

2

]上的最值并求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得：函數(shù)f（x）=

a

•

b

=

3

sin(2x+

π

6

)．
（1）利用T=

2π

ω

即可得出周期；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（3）利用已知區(qū)間及其正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

a

•

b

=3sinxcosx+

3

(cos2x-

1

2

)
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

sin(2x+

π

6

)．
（1）T=

2π

ω

=

2π

2

=π．
（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．
（3）由0≤x≤

π

2

得，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，x=

π

2

時，f(x)min=-

3

2

，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，x=

π

6

時，f(x)max=

3

．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．