Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的圖象關于原點對稱，且當x=1時，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得在這兩點處的切線互相垂直？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)是奇函數(shù)可求得b=0，然后求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，再由x=1時，f（x）取極小值-

2

3

列關于a，c的方程組求解a，c的值；
（2）把a，b，c代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，分析可知在[-1，1]上不存在兩個x的值，使得f′(x1)f′(x2)=-1．

解答：解：（1）由函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的圖象關于原點對稱，可知函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，
所以b=0，則f（x）=ax³+3cx，f′（x）=3ax²+3c．
又當x=1時，f（x）取極小值-

2

3

，
所以

3a+3c=0 a+3c=- 2 3

，解得a=

1

3

，c=-

1

3

．
所以a=

1

3

，b=0，c=-

1

3

；
（2）由（1）得f（x）=

1

3

x3-xf′（x）=x²-1
設x₁，x₂∈[-1，1]
若存在兩點x₁，x₂，使得在這兩點處的切線互相垂直，則f′(x1)f′(x2)=-1
即(x1x2)2-(x12+x22)+2=0．
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以(x1x2)2-(x12+x22)+2＞0．
所以不存在兩點的切線互相垂直．

點評：本題考查了奇函數(shù)的對稱性，考查了函數(shù)在某點處取得極值的條件，訓練了函數(shù)在某點出的切線方程與在該點處導數(shù)的關系，考查了逆向思維方法，是中檔題．