Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+3（1-m²）x，（0＜m＜1）．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的極大值點和極小值點；
（Ⅱ） 若f（x）恰好有三個零點，求實數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點即可；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)有3個零點，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3（x²-2x+1-m²）=0，
得x₁=1-m，x₂=1+m，
由0＜m＜1，列表如下：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）上為增函數(shù)；在（1-m，1+m）上為減函數(shù)；        
函數(shù)f（x）的極大值點為x=1-m，極小值點為x=1+m．
（Ⅱ）若f（x）恰好有三個零點，
則$\left\{{\begin{array}{l}{f（{1-m}）＞0}\\{f（{1+m}）＜0}\end{array}}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2{m^2}-m-1＜0\\ 2{m^2}+m-1＞0\end{array}\right.$；
又0＜m＜1解得$\frac{1}{2}＜m＜1$，
故實數(shù)m取值范圍為$（\frac{1}{2}，1）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．