13.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA.
(1)若asinB=2$\sqrt{2}$,求b;
(2)若a=2$\sqrt{2}$,且△ABC的面積為$\sqrt{2}$,求b+c的周長.

分析 (1)利用正弦定理化簡已知等式,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡,根據(jù)sinC不為0求出cosA的值,進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值.
(2)由已知利用三角形面積公式可求bc=3,利用余弦定理即可求得b2+c2=6,進(jìn)而可求b+c的值.

解答 解:(1)在△ABC中,由acosB=(3c-b)cosA及正弦定理得(3sinC-sinB)cosA=sinAcosB,
得3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B),
∵A+B+C=π,
∴sin(A+B)=sinC≠0,
∴cosA=$\frac{1}{3}$,
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
由正弦定理得:$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$①
∵asinB=2$\sqrt{2}$,②
聯(lián)立①②,得
b=$\frac{2\sqrt{2}}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3;
(2)∵△ABC的面積為$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×bc×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴解得:bc=3.
∵cosA=$\frac{1}{3}$,a=2$\sqrt{2}$,利用余弦定理可得:8=b2+c2-2×bc×$\frac{1}{3}$=b2+c2-2,可得:b2+c2=10,
∴b+c=$\sqrt{(b+c)^{2}}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{6+2×3}$=2$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,誘導(dǎo)公式,余弦定理,三角形面積公式以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握相關(guān)定理及公式是解本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

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