Question

4．已知F₁、F₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且右焦點F₂的坐標為（1，0），點P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓C上，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點F₂的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且|AB|=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，求直線l的方程；
（3）過橢圓C上異于其頂點的任一點Q，作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為M，N（M，N不在坐標軸上），若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n，那么$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的定義得a，b進而得到橢圓方程；
（2）求出直線l與x，y軸的交點，代入橢圓方程，運用韋達定理，以及弦長公式，可得k的值；
（3）由切線的性質(zhì)，設(shè)點Q（x₀，y₀），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），連接0M，ON，0M⊥MQ，ON⊥NQ，得到直線MN的方程為xx₀+yy₀=1，求出x₀，y₀，
代入橢圓方程即可得證．

解答 解：（1）橢圓C的右焦點F₂的坐標為（1，0），
∴橢圓C的左焦點F₁的坐標為（-1，0），
由橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴2a=$\sqrt{（1-（-1））^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}-0）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，a²=2
由題意可得c=1，即b²=a²-c²=1，
即橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直線l與橢圓C的兩個交點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當直線l垂直x軸時，易得|AB|=$\sqrt{2}$，不合題意，
②當直線l不垂直x軸時，設(shè)直線l：y=k（x-1）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消y得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，①
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
∴|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）[（$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）2-4×$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$]=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{（2{k}^{2}+1）^{2}}$=（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）²，
解得k=±1，
∴直線方程l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0
（Ⅲ）設(shè)點Q（x₀，y₀），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），連接0M，ON，
0M⊥MQ，ON⊥NQ，
∵M，N不在坐標軸上，
∴k_M0=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}}$，k_N0=-$\frac{{y}_{4}}{{x}_{4}}$，
∴直線MQ的方程為y-y₃=$\frac{{y}_{3}}{{x}_{3}}$（x-x₃），即xx₃+yy₃=1，…①
同理直線NQ的方程為xx₄+yy₄=1，…②，
將點Q代入①②，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}{x}_{3}+{y}_{0}{y}_{3}=1}\\{{x}_{0}{x}_{4}+{y}_{0}{y}_{4}=1}\end{array}\right.$，
顯然M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）滿足方程xx₀+yy₀=1，
∴直線MN的方程為xx₀+yy₀=1，
分別令x=0，y=0，得到m=$\frac{1}{{x}_{0}}$，n=$\frac{1}{{y}_{0}}$．
∴x₀=$\frac{1}{m}$，y₀=$\frac{1}{n}$，
∵Q（x₀，y₀）滿足$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
∴$\frac{\frac{1}{{m}^{2}}}{2}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=1，
即$\frac{1}{{m}^{2}}$+$\frac{2}{{n}^{2}}$=2

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，同時考查圓方程的求法，以及兩圓相交弦的問題，考查運算能力，屬于中檔題．