Question

7．已知k為實數(shù)，函數(shù)f（x）=|x²-4|-x²-kx，x∈（0，4）．
（1）求關(guān)于x的方程f（x）=-kx-3在（0，4）上的解；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，4）上有且僅有一個零點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將含有絕對值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式，解方程即可；
（2）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，結(jié)合分段函數(shù)的圖象進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x＜2時，f（x）=|x²-4|-x²-kx=-（x²-4）-x²-kx=-2x²-kx+4，
當(dāng)2≤＜x＜4時，f（x）=|x²-4|-x²-kx=（x²-4）-x²-kx=-kx-4，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}-kx+4}&{0＜x＜2}\\{-kx-4}&{2≤x＜4}\end{array}\right.$，
關(guān)于x的方程f（x）=-kx-3在（0，4）上的解；
當(dāng)0＜x＜2時，有-2x²-kx+4=-kx-3，即2x²=7，x²=$\frac{7}{2}$，
則x=$\sqrt{\frac{7}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$或x=-$\frac{\sqrt{14}}{2}$（舍），滿足方程有解．
當(dāng)2≤x＜4時，有-kx-4=-kx-3，即-4=-3，則方程不成立，
即此時方程無解，
綜上方程f（x）=-kx-3在（0，4）上的解為$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，4）上有且僅有一個零點，
等價為f（x）=|x²-4|-x²-kx=0，即kx=|x²-4|-x²，
則k=$\frac{|{x}^{2}-4|-{x}^{2}}{x}$在（0，4）上有且僅有一個根，
設(shè)g（x）=$\frac{|{x}^{2}-4|-{x}^{2}}{x}$，則g（x）=$\frac{|{x}^{2}-4|-{x}^{2}}{x}$=$\left\{\begin{array}{l}{4-2{x}^{2}}&{0＜x＜2}\\{-\frac{4}{x}}&{2≤x＜4}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)g（x）的圖象如圖：
當(dāng)0＜x＜2時，-4＜g（x）＜4，
當(dāng)2≤x＜4時，-2≤g（x）＜-1，
要使k=g（x）在（0，4）上有且僅有一個根，
則-4＜k＜-2或-1≤k＜4，
故實數(shù)k的取值范圍是-4＜k＜-2或-1≤k＜4．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)絕對值表示為分段函數(shù)性質(zhì)，利用函數(shù)與方程的關(guān)系，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．