Question

18．已知△ABC中，$AC=2，AB=2\sqrt{7}，cos∠BAC=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$且D是BC的中點，則中線AD的長為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，在△ABC中，由余弦定理可得：a²=BC²=$（2\sqrt{7}）^{2}+{2}^{2}$-2×$2\sqrt{7}×2×cos∠BAC$=16．解得a．設∠ADB=α，則∠ADC=π-α．設AD=m．在△ABD與△ACD中，由余弦定理可得：c²=${m}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}$-2m$•\frac{a}{2}$cosα，b²=${m}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}$-2m$•\frac{a}{2}$cos（π-α），相加即可得出．

解答 解：如圖所示，
在△ABC中，由余弦定理可得：a²=BC²=$（2\sqrt{7}）^{2}+{2}^{2}$-2×$2\sqrt{7}×2×cos∠BAC$
=16．
解得a=4．
設∠ADB=α，則∠ADC=π-α．設AD=m．
在△ABD與△ACD中，由余弦定理可得：c²=${m}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}$-2m$•\frac{a}{2}$cosα，
b²=${m}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}$-2m$•\frac{a}{2}$cos（π-α），
∴c²+b²=2m²+$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴$（2\sqrt{7}）^{2}+{2}^{2}$=2m²+$\frac{{4}^{2}}{2}$，
解得m=2$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了余弦定理的應用、中線長定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．