Question

1．已知函數$f（x）=\frac{1}{x}-{log_2}\frac{2+x}{2-x}$．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據函數成立的條件建立不等式關系即可求出函數的定義域．
（2）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）函數f（x）有意義，需$\left\{\begin{array}{l}x≠0\\ \frac{2+x}{2-x}＞0\end{array}\right.$，得-2＜x＜2且x≠0，
∴函數定義域為{x|-2＜x＜0或0＜x＜2}．…（6分）
（2）函數f（x）為奇函數，
∵$f（x）=\frac{1}{x}-{log_2}\frac{2+x}{2-x}=-\frac{1}{x}+{log_2}\frac{2+x}{2-x}=-f（x）$，
又由（1）已知f（x）的定義域關于原點對稱，
∴f（x）為奇函數．…（12分）

點評 本題主要考查函數定義域和函數奇偶性的判斷，根據函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵．