Question

11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為$\frac{160}{3}$，表面積為64+32$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體一個直三棱柱切去一個三棱錐所得的組合體，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體體積公式求出幾何體的體積，由條件和面積公式求出各個面的面積，加起來求出幾何體的表面積．

解答 解：由三視圖知該幾何體是一個直三棱柱切去一個三棱錐所得的組合體，
其直觀圖如圖所示：
底面是等腰三角形，AB=BC=4，則AC=$4\sqrt{2}$，棱長是8，
其中D是CG的中點，
∵BF⊥平面EFG，∴BF⊥EF，
∵EF⊥FG，BF∩FG=F，
∴EF⊥平面BFGC，
∴組合體的體積：
V=V_{三棱柱ABC-EFG}-V_{三棱錐E-DFG}
=$\frac{1}{2}×4×4×8-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×4$
=$\frac{160}{3}$，
∵平面ABFE的面積為：4×8=32，
平面BCDF的面積為：$\frac{1}{2}×（4+8）×4$=24，
平面ABC的面積為：$\frac{1}{2}×4×4$=8，平面DEF的面積為：$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4$=8$\sqrt{2}$，
平面ACDE的面積為：$\frac{1}{2}×（4+8）×4\sqrt{2}$=24$\sqrt{2}$，
∴組合體的表面積S=32+24+8+8$\sqrt{2}$+24$\sqrt{2}$=64+32$\sqrt{2}$，
故答案為：$\frac{160}{3}$；64+32$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三視圖求幾何體的體積以及表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．