Question

6．已知圓C₁：x²+y²=r²和橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若過圓C₁上一點(diǎn)（x₀，y₀）作圓C₁的切線，則切線方程為x₀x+y₀y=r²，類比圓的這一性質(zhì)，若過橢圓C₂上一點(diǎn)（x₀，y₀）作橢圓C₂的切線，請寫出切線的方程，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖1，設(shè)A，B，C，D分別是圓C₁與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，過圓C₁上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）（不與A，B，C，D重合）的切線交x軸于點(diǎn)Q，連接PA交x軸于點(diǎn)H，則QD，QH，QC成等比數(shù)列，類比圓的這一性質(zhì)，敘述在橢圓C₂（如圖2）中類似的性質(zhì)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）過橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）一點(diǎn)P（x₀，y₀）作橢圓的切線為：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1，下面給出證明：由$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，可得$^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}-{a}^{2}^{2}$=0．
y₀≠0時(shí)，y=$\frac{^{2}}{{y}_{0}}（1-\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}）$代入橢圓方程，只要證明△=0即可．y₀=0時(shí)，直徑驗(yàn)證即可得出結(jié)論．
（2）設(shè)A，B，C，D分別是橢圓C₂與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，過橢圓C₂上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）（不與A，B，C，D重合）的切線交x軸于點(diǎn)Q，連接PA交x軸于點(diǎn)H，則QD，QH，QC成等比數(shù)列．下面給出證明分析：由（1）可知：過橢圓C₂上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）（不與A，B，C，D重合）的切線方程為：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．（x₀，y₀）≠（0，0），不妨設(shè)x₀＞0，y₀＞0．令y=0，可得Q$（\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}，0）$，可得QD，QC．由點(diǎn)斜式可得直線AP的方程為：$y=\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$x-b，令y=0，可得x_H，QH²．只要證明QD•QC=QH²即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）一點(diǎn)P（x₀，y₀）作橢圓的切線為：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1，
下面給出證明：由$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，可得$^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}-{a}^{2}^{2}$=0．
y₀≠0時(shí)，y=$\frac{^{2}}{{y}_{0}}（1-\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}）$代入橢圓方程可得：$（{a}^{2}{y}_{0}^{2}+^{2}{x}_{0}^{2}）$x²-2a²b²x₀x+${a}^{4}（^{2}-{y}_{0}^{2}）$=0，
△=$4{a}^{4}^{4}{x}_{0}^{2}$-4${a}^{4}（^{2}-{y}_{0}^{2}）$$（{a}^{2}{y}_{0}^{2}+^{2}{x}_{0}^{2}）$=4a⁴${y}_{0}^{2}$$（{a}^{2}{y}_{0}^{2}+^{2}{x}_{0}^{2}-{a}^{2}^{2}）$=0．
∴$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1為橢圓的切線．
y₀=0時(shí)，x₀=±a，橢圓的切線為x=±a，也滿足上式．
綜上可得：過橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）一點(diǎn)P（x₀，y₀）作橢圓的切線為：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．
（2）設(shè)A，B，C，D分別是橢圓C₂與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，過橢圓C₂上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）（不與A，B，C，D重合）的切線交x軸于點(diǎn)Q，連接PA交x軸于點(diǎn)H，則QD，QH，QC成等比數(shù)列．
下面給出證明：由（1）可知：
過橢圓C₂上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）（不與A，B，C，D重合）的切線方程為：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．（x₀，y₀）≠（0，0），不妨設(shè)x₀＞0，y₀＞0．

令y=0，可得Q$（\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}，0）$，∴QD=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$-a，QC=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$+a，∴QD•QC=（$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$-a）（=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$+a）=$\frac{{a}^{4}}{{x}_{0}^{2}}$-a²．
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，可得${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}（^{2}-{y}_{0}^{2}）$．
∴QD•QC=$\frac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{^{2}-{y}_{0}^{2}}$．
直線AP的方程為：$y=\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$x-b，令y=0，可得x_H=$\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$，
∴QH=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$-$\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$，∴QH²=$\frac{{a}^{4}}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{^{2}{x}_{0}^{2}}{（{y}_{0}+b）^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}b}{{y}_{0}+b}$=$\frac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{^{2}-{y}_{0}^{2}}$．
∴QD•QC=QH²．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．