Question

設(shè)a∈R，f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=

a•2x-a-2

2x+1

（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）設(shè)g（x）=log 

2

1+x

k

，若x∈[

1

2

，

2

3

]時，有f^-1（x）≤g（x）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題,反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)，便有f（0）=0，從而可求得a=1；
（2）求出f（x）=

2x-1

2x+1

，設(shè)y=f（x），從而可解出x=log2

1+y

1-y

，從而得到f^-1（x）=log2

1+x

1-x

；
（3）換底公式求出g（x）=log2(

1+x

k

)2，根據(jù)已知條件從而得到k²≤-x²+1在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立，從而可得到k2≤

5

9

，再根據(jù)

1+x

k

＞0在[

1

2

，

2

3

]上恒成立便得到0＜k≤

5

3

．

解答： 解：（1）f（x）為奇函數(shù)；
∴f（0）=0；
∴

a-a-2

2

=0；
解得a=1；
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

；
設(shè)y=

2x-1

2x+1

，解x=log2

y+1

1-y

；
∴f-1(x)=log2

x+1

1-x

；
（3）g（x）=

log2 1+x k

log2 2

=log2(

1+x

k

)2；
∴由f^-1（x）≤g（x）得，log2

x+1

1-x

≤log2(

1+x

k

)2；
∴

x+1

1-x

≤(

1+x

k

)2；
∴x∈[

1

2

，

2

3

]時k²≤-x²+1恒成立；
x=

2

3

時，-x²+1取最小值

5

9

；
∴k2≤

5

9

；
∴-

5

3

≤k≤

5

3

；
又

1+x

k

＞0在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立知k＞0；
∴0＜k≤

5

3

；
∴k的取值范圍為（0，

5

3

]．

點評：考查奇函數(shù)f（x）在原點有定義時f（0）=0，反函數(shù)的概念及求反函數(shù)的方法與過程，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．