Question

平面上有9個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，此外任三點(diǎn)不共線．
（1）分別以其中兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可作出幾個(gè)向量？
（2）過(guò)每?jī)牲c(diǎn)連線，可得幾條直線？
（3）以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作幾個(gè)？

Answer 1

考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

專題：排列組合

分析：（1）向量具有方向和大小的，分三類，一類兩點(diǎn)全在直線上，一類在一直線上4點(diǎn)任取一點(diǎn)，直線外再取一點(diǎn)，另一類在一直線上4點(diǎn)不取，直線外取兩點(diǎn)即可，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（2）分三類，一類兩點(diǎn)全在直線上，一類在一直線上4點(diǎn)任取一點(diǎn)，直線外再取一點(diǎn)，另一類在一直線上4點(diǎn)不取，直線外取兩點(diǎn)即可根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．
（3）分三類，第一類，在同一條直線上4個(gè)點(diǎn)選一個(gè)，再另外的5個(gè)點(diǎn)選2個(gè)，第二類，在同一條直線上4個(gè)點(diǎn)選2個(gè)，再另外的5個(gè)點(diǎn)選1個(gè)，第二類，在另外的5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得

解答： 解：（1）第一類，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別屬于同一直線的4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)，有

A

2 4

=12種，
第二類，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別屬于同一直線的4個(gè)點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)在直線的5個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)，2×4×5=40種，
第三類，起點(diǎn)和終點(diǎn)分別屬于直線的5個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)，

A

2 5

=20種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，12+40+20=72個(gè)向量
（2）解：第一類，在一直線上4點(diǎn)任取兩點(diǎn)構(gòu)成同一直線，1條，
第二類，在一直線上4點(diǎn)任取一點(diǎn)，直線外再取一點(diǎn)可構(gòu)成4×5=20條
第三類，在一直線上4點(diǎn)不取，直線外取兩點(diǎn)可構(gòu)成

C

2 5

=10條，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，故一共1+20+10=31條，
（3）分兩類，第一類，在同一條直線上4個(gè)點(diǎn)選一個(gè)，再另外的5個(gè)點(diǎn)選2個(gè)，有

C

1 4

•

C

2 5

=40個(gè)，
第二類，在同一條直線上4個(gè)點(diǎn)選2個(gè)，再另外的5個(gè)點(diǎn)選1個(gè)，有

C

2 4

•

C

1 5

=30個(gè)，
第二類，在另外的5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)，有

C

3 5

=10個(gè)，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，以每三點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作40+30+10=80個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分類計(jì)數(shù)原理，如何分類時(shí)關(guān)鍵，屬于中檔題．