Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時，函數(shù)f（x）取極值1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=-mx+m，若x₁，x₂∈[0．m]（m＞0），不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）曲線y=f（x）上是否存在兩個不同的點A、B，使過A、B兩點的切線都垂直于直線AB？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即bx²=0對于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
∵x=-1時，函數(shù)f（x）取極值1．
∴f′（-1）=0且f（-1）=1．
∴，
∴a=，c=-．
∴
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可．
∵函數(shù)g（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，∴g（x）_min=g（m）=-m²+m
又，，
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1；f′（x）＜0得-1＜x＜1，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值，
在（0，+∞）上，當(dāng)=f（0）時，x=，
①當(dāng)0＜m≤時，f（x）_max=f（0）=0，
則f（x）_max-g（x）_min=0-（-m²+m）=m²-m≤0，
解得，故此時0＜m≤
②當(dāng)m＞時，f（x）_max=f（m）=，
則f（x）_max-g（x）_min=-（-m²+m）=≤0，
解得-4≤m≤2，故此時．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是（0，2]；
（Ⅲ）假定存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∵，過A、B兩點的切線平行，∴f′（x₁）=f′（x₂），得=
∵x₁≠x₂，∴x₂=-x₁，則y₂=-y₁，且知x₁≠0，
∴=，
由于過A點的切線垂直于直線AB，∴（）（）=-1
∴3-12+13=0，則△=-12＜0，∴關(guān)于x₁的方程無解．
故曲線上不存在兩個不同的點A、B，使過A、B兩點的切線都垂直于直線AB．
分析：（Ⅰ）欲求f（x）的解析式，只需找到關(guān)于a，b，c的三個等式，求出a，b，c的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得到一個含等式，根據(jù)x=-1時，取得極值1，可知函數(shù)在x=-1時，導(dǎo)數(shù)等于0，且x=-1時，函數(shù)值等于1，又可得到兩個含a，b，c的等式，三個等式聯(lián)立，解出a，b，c即可；
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可；
（Ⅲ）先假設(shè)存在兩個不同的點A、B，使過A、B的切線都垂直于AB，則切線斜率與AB斜率互為負(fù)倒數(shù)，又因為函數(shù)在A，B點處的切線斜率時函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)，就可得到含A，B點的坐標(biāo)的方程，解方程，若方程有解，則假設(shè)成立，若方程無解，則假設(shè)不成立．
點評：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)切線斜率之間的關(guān)系，考查恒成立問題，屬于中檔題．