Question

9．已知點(diǎn)$P（x，y）滿足\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ y≤x+2\\ x≤3\end{array}\right.$，點(diǎn)A，B是圓x²+y²=2上的兩個點(diǎn)，則∠APB的最大值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意知點(diǎn)P在不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{y≤x+2}\\{x≤3}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動，
當(dāng)P位于圓x²+y²=2外時，若∠APB最大，則PA，PB所在直線與圓相切，
且點(diǎn)P位于離圓心最近的H處；由此求出∠APB的最大值．

解答 解：由已知可得點(diǎn)P在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{y≤x+2}\\{x≤3}\end{array}\right.$表示的平面如圖所示（包含邊界）運(yùn)動，
易知點(diǎn)P位于圓x²+y²=2外時，∠APB最大時，
當(dāng)PA，PB所在直線與圓相切，且點(diǎn)P位于離圓心最近的H處；
此時，圓心到直線x+y-4=0的距離為$|OH|=2\sqrt{2}$，
所以在Rt△OAP中|OP|=2|OA|，
所以$∠OPA=\frac{π}{6}$，
同理$∠OPB=\frac{π}{6}$，
此時$∠APB=\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思想，是綜合題．