Question

17．國慶期間，高速公路堵車現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生．某調(diào)查公司為了了解車速，在贛州西收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序，每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h））分成六段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后，得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；
（2）若從這40輛車速在[60，70）的小型汽車中任意抽取2輛，求抽出的2輛車車速都在[65，70）的概率．

Answer 1

分析 （1）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數(shù)；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數(shù)；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
（2）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數(shù)和車速在[65，70）的車輛數(shù)．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為A，B，C，D，列出各自的基本事件數(shù)，從而求出相應的概率即可．

解答 解：（1）眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點，即眾數(shù)的估計值為77.5…（2分）
由題圖可知，中位數(shù)應該在75～80之間，設為m，
則0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（m-75）=0.5，解得：m=77.5
即中位數(shù)的估計值為77.5…（6分）
（2）這40輛車中，車速在[60，70）的共有5×（0.01+0.02）×40=6（輛），
其中車速在[65，70）的有5×0.02×40=4（輛），記為A，B，C，D
車速在[60，65）的有5×0.01×40=2（輛），記為a，b…（8分）
從車速在[60，70）的這6輛汽車中任意抽取2輛的可能結(jié)果有15種不同的結(jié)果，
其中抽出的2輛車車速都在[65，70）的結(jié)果有6種…（10分）
因為抽到每種結(jié)果都是等可能的，所以從這40輛車速在[60，70）的汽車中任意抽取2輛，
抽出的2輛車車速都在[65，70）的概率為$P=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$…（12分）

點評 解決頻率分布直方圖的有關特征數(shù)問題，利用眾數(shù)是最高矩形的底邊中點；中位數(shù)是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值；平均數(shù)等于各個小矩形的面積乘以對應的矩形的底邊中點的和．此題把統(tǒng)計和概率結(jié)合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起重視．