Question

已知某商品的價格上漲x%，銷售的數(shù)量就會減少mx%，其中m＞0，
（1）當(dāng)m=

1

2

時，該商品的價格上漲多少就能使銷售總金額最大？
（2）如果適當(dāng)?shù)臐q價，能使銷售總金額增加，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題是通過構(gòu)建函數(shù)模型解答銷售金額的問題．根據(jù)理解題意寫出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)球二次函數(shù)最值的方法解出答案．
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)（增減性），先確定出當(dāng)x=

50(1-m)

m

時，y的值最大，要使上漲后，銷售總額有所增加，就是當(dāng)0≤x≤

50(1-m)

m

時，y隨x增大而增大，從而可得不等式，進(jìn)而可確定m的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)降價前每件定價為a元，銷售量為b件，則價格上漲x%后銷售總額為
y=a（1+x%）•b（1-mx%）=

ab

1002

[-mx2+100(1-m)x+1002]
當(dāng)m=

1

2

時，y=

ab

1002

(-0.5x2+50x+1002)
∴當(dāng)x=-

50

2×(-0.5)

=50時，y取最大值．故上漲50%時，售出總金額最大．
（2）由y=

ab

1002

[-mx2+100(1-m)x+1002]知，
當(dāng)x=

50(1-m)

m

時，y的值最大．
上漲后，銷售總額有所增加，就是當(dāng)0≤x≤

50(1-m)

m

時，y隨x增大而增大，
所以

-m＜0 50(1-m) m ＞0

⇒0＜m＜1
答：使售出總金額增加m的取值范圍為：0＜m＜1．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．最大銷售額的問題常利函數(shù)的最值來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．