Question

17．若定義域均為D的三個(gè)函數(shù)f（x），g（x），h（x）滿足條件：對(duì)任意x∈D，點(diǎn)（x，g（x）與點(diǎn)（x，h（x）都關(guān)于點(diǎn)（x，f（x）對(duì)稱，則稱h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對(duì)稱函數(shù)”．已知g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對(duì)稱函數(shù)”，且h（x）≥g（x）恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱函數(shù)的定義，結(jié)合h（x）≥g（x）恒成立，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離d≥1，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：解：∵x∈D，點(diǎn)（x，g（x）） 與點(diǎn)（x，h（x））都關(guān)于點(diǎn)（x，f（x））對(duì)稱，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h(yuǎn)（x）≥g（x）恒成立，
∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，
作出g（x）和f（x）的圖象，
若h（x）≥g（x）恒成立，
則h（x）在直線f（x）的上方，
即g（x）在直線f（x）的下方，
則直線f（x）的截距b＞0，且原點(diǎn)到直線y=2x+b的距離d≥1，
d=$\frac{|b|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{|b|}{\sqrt{5}}≥1$⇒b≥$\sqrt{5}$或b$≤-\sqrt{5}$（舍去）
即實(shí)數(shù)b的取值范圍是[$\sqrt{5}$，+∞），

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)對(duì)稱函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．