Question

已知△ABC的周長為12，頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），C為動(dòng)點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（2）過原點(diǎn)作兩條關(guān)于y軸對(duì)稱的直線（不與坐標(biāo)軸重合），使它們分別與曲線E交于兩點(diǎn)，求四點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的四邊形的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：對(duì)第（1）問，由△ABC的周長及AB的長，得|CA|+|CB|，由圓錐曲線的定義可判斷軌跡的形狀，即可得其方程；
對(duì)第（2）問，先設(shè)出直線方程，并求出直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，由四邊形的形狀，寫出面積的表達(dá)式，即可探求面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意知，|CA|+|CB|=12-|AB|=8＞|AB|，
故動(dòng)點(diǎn)C在橢圓上，
當(dāng)C與A，B共線時(shí)，A，B，C三點(diǎn)不能圍成三角形，故軌跡E不含x軸上的兩點(diǎn)，
由于定點(diǎn)A，B在x軸上，可設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則2a=8，焦距2c=4，從而b²=a²-c²=12，
即得E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1（y≠0）．
（2）設(shè)過原點(diǎn)所作的兩條關(guān)于y軸對(duì)稱的直線分別為y=kx，y=-kx，k＞0，
由

y=kx x2 16 + y2 12 =1

，得直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（

4 3

3+4k2

，

4 3 k

3+4k2

），
根據(jù)圖形的對(duì)稱性知，由四點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的四邊形為矩形，
且其面積S=

8 3

3+4k2

•

8 3 k

3+4k2

=

64×3

3 k +4k

≤

64×3

2 3 k •4k

=16

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

3

k

=4k即k=

3

2

時(shí)，上式取等于號(hào)．
所以所求四邊形面積的最大值為16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的相交關(guān)系及面積最值問題，關(guān)鍵是寫出面積的表達(dá)式，從表達(dá)式的特征尋求最值，求面積最值的常見方法是利用基本不等式或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題進(jìn)行處理．