Question

已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=

x(x-a)，(x≥0) - 9 40 x(x-a)，(x＜0)

（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）（b＞0）上存在最小值，求b的取值范圍
（2）對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間[m，n]（n＞m），使{y|y=f（x），x∈[m，n]}=[m，n]，求a的取值范圍，并寫(xiě)出滿足條件的所有區(qū)間[m，n]．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可得，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）（b＞0）上存在最小值，最小值為

a

2

•（

a

2

-a）=-

a2

4

，令f（x）=-

a2

4

（x＜0），求出x，即可得到b的范圍；
（2）畫(huà)出直線y=x，求出交點(diǎn)，通過(guò)圖象觀察，當(dāng)x＜0時(shí)，遞增，再由x＞0的最小值，解不等式a-

40

9

≤-

a2

4

，即可得到a的范圍，進(jìn)而區(qū)間[m，n]．

解答： 解：（1）畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象可得，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-b，b）（b＞0）上存在最小值，
則最小值為

a

2

•（

a

2

-a）=-

a2

4

，令-

9

40

x（x-a）=-

a2

4

（x＜0），
解得x=-

2a

3

，即有

a

2

＜b≤

2a

3

；
（2）當(dāng)區(qū)間[m，n]⊆（-∞，0），即為增區(qū)間，
由-

9

40

x（x-a）=x，可得x=0，或a-

40

9

，
由a-

40

9

＜0，可得0＜a＜

40

9

．
則區(qū)間m，n]為[a-

40

9

，0]，
再由x（x-a）=x，解得x=0或a+1，
由a-

40

9

≤-

a2

4

，解得-

20

3

≤a≤

8

3

．但a＞0，則有0＜a≤

8

3

．
則區(qū)間[m，n]為[a-

40

9

，a+1]．
綜上可得a的范圍是0＜a＜

40

9

，區(qū)間為[a-

40

9

，0]，[a-

40

9

，a+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．