Question

13．已知A={x|y=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{\sqrt{7-x}}$}，B={y|y=-x²+2x+8}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}
（1）求A，（∁_RA）∩B；
（2）若A∪C=R，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若A∪C=C，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A中x的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出A補集與B的交集即可；
（2）根據(jù)A與C的并集為R，求出a的范圍即可；
（3）根據(jù)A與C的并集為C，得到A為C的子集，確定出a的范圍即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：A={x|y=$\sqrt{x-3}$-$\frac{1}{\sqrt{7-x}}$}={x|3≤x＜7}，B={y|y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9}={y|y≤9}，
∴∁_RA={x|x＜3或x≥7}，
則（∁_RA）∩B={x|x＜3或7≤x≤9}；
（2）∵A={x|3≤x＜7}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}，且A∪C=R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{a+1＜7}\end{array}\right.$，
解得：3≤a＜6；
（3）∵A={x|3≤x＜7}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}，且A∪C=C，
∴A⊆C，即a≥7或a+1＜3，
解得：a＜2或a≥7．

點評 此題考查了交、并、補集的混合運算，集合的包含關系判斷及應用，以及并集及其運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．