Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R），
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線的斜率為-3，求a，b的值；
（2）若曲線f（x）存在兩條垂直于直線x=-1的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為-3得到方程f（0）=0，f′（0）=-3，解方程組求得a，b的值；
（2）把曲線y=f（x）存在兩條垂直于x=-1的切線轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后尤其判別式大于0求得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)，即為f（0）=0，即有b=0，
又f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2），
由在原點(diǎn)處的切線的斜率為-3，可得-a（a+2）=-3，
解得a=-3或1，
即有a=-3，b=0或a=1，b=0；
（2）∵曲線f（x）存在兩條垂直于直線x=-1的切線，
∴關(guān)于x的方程f′（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4（1-a）²+12a（a+2）＞0，即4a²+4a+1＞0，
∴a≠-$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，著重考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．