Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₂與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點P，若|PF₁|=3|PF₂|，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)過F₂與雙曲線的一條漸近線y=$\frac{a}$x平行的直線交雙曲線于點P，運用雙曲線的定義和條件可得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，|F₁F₂|=2c，再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)過F₂與雙曲線的一條漸近線y=$\frac{a}$x平行的直線交雙曲線于點P，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PF₁|=3|PF₂|，可得|PF₁|=3a，|PF₂|=a，|F₁F₂|=2c，
由tan∠F₁F₂P=$\frac{a}$可得cos∠F₁F₂P=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}}$=$\frac{a}{c}$，
在三角形PF₁F₂中，由余弦定理可得：
|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²-2|PF₂|•|F₁F₂|cos∠F₁F₂P，
即有9a²=a²+4c²-2a•2c•$\frac{a}{c}$，
化簡可得，c²=3a²，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和定義法，以及余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．