Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{a{x^2}+bx+c}$（a，b，c∈R）的定義域和值域分別為A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}對應的平面區(qū)域是正方形區(qū)域，則實數(shù)a，b，c滿足（　�。�

• A． |a|=4
• B． a=-4且b²+16c＞0
• C． a＜0且b²+4ac≤0
• D． 以上說法都不對

Answer 1

分析 設(shè)y=ax²+bx+c與x軸相交于兩點（x₁，0），（x₂，0），a＜0．可得|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{-a}$．由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=^{2}-4ac＞0}\\{|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}}\end{array}\right.$，化簡即可得出．

解答 解：設(shè)y=ax²+bx+c與x軸相交于兩點（x₁，0），（x₂，0），a＜0．
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{-a}$．
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=^{2}-4ac＞0}\\{|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}}\end{array}\right.$，
由$\sqrt{\frac{4ac-^{2}}{4a}}$=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{-a}$，解得a=-4．
∴實數(shù)a，b，c滿足a=-4，△=b²+16c＞0，
故選：B．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系及其根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．