Question

11．已知函數f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過點P（0，2），且在點M（-1，f（-1））處的切線方程為6x-y+7=0．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）求函數y=f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義，結合切線方程建立方程關系，求出b，c，d，即可求函數f（x）的解析式；
（2）求函數的導數，即可求函數f（x）在定義域上的單調性．

解答 解：（1）由f（x）的圖象經過P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x³+bx²+cx+2，則f'（x）=3x²+2bx+c．
由在M（-1，f（-1））處的切線方程是6x-y+7=0，
知-6-f（-1）+7=0，
即f（-1）=1，f'（-1）=6
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-2b+c=6}\\{-1+b-c+2=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2b-c=-3}\\{b-c=0}\end{array}\right.$，
解得b=c=-3，
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）∵f（x）=x³-3x²-3x+2．
∴f′（x）=3x²-6x-3=3（x²-2x-1）．
由f′（x）=3（x²-2x-1）＞0，
解得x＞1+$\sqrt{2}$或x＜1-$\sqrt{2}$，此時函數單調遞增，
由f′（x）=3（x²-2x-1）＜0，
解得1-$\sqrt{2}$＜x＜1+$\sqrt{2}$，此時函數單調遞減，
即函數的單調遞減區(qū)間為為（1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$），
函數的單調遞增區(qū)間為為（-∞，1-$\sqrt{2}$），（1+$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查導數的幾何意義，以及利用導數求函數的單調性，綜合考查導數的綜合應用，根據條件求出函數的解析式是解決本題的關鍵．．