Question

1．點(diǎn)A是圓x²+y²=r²（r＞0）上任意一點(diǎn)，AB⊥x軸，垂足為B，以A為圓心，|AB|為半徑的圓交已知圓于C，D兩點(diǎn)，連接CD交AB于M點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（rcosα，rsinα），由以A為圓心、AB為半徑的圓的方程及已知圓x²+y²=r²的方程，求得公共弦CD的方程，再與AB的方程聯(lián)立得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2cosα，sinα），消去α，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（rcosα，rsinα），則以A為圓心、AB為半徑的圓的方程為：
（x-rcosα）²+（y-rsinα）²=r²sin²α．
聯(lián)立已知圓x²+y²=r²的方程，相減，可得公共弦CD的方程為：
2xcosα+2ysinα=r（1+cos²α）．             （1）
而AB的方程是x=rcosα．          （2）
所以滿足（1）、（2）的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（rcosα，$\frac{r}{2}$sinα），消去α，即得
點(diǎn)M的軌跡方程為x²+4y²=r²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地利用參數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．