Question

13．a、b、c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，則$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$的值（　�。�

• A． 一定是負數
• B． 一定是正數
• C． 可能是0
• D． 正負不能確定

Answer 1

分析 因為a+b+c=0，abc（乘積）是正數，則這三個數中只能有一個正數，另兩個為負數．把a+b+c=0變形代入代數式，運用柯西不等式即可判斷．

解答 解：∵a+b+c=0，abc＞0，
∴a，b，c中只能有一個正數，另兩個為負數，
不妨設a＞0，b＜0，c＜0．
由a+b+c=0得a=-（b+c）代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$=-$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$，
∵[（-b）+（-c）]（-$\frac{1}$+$\frac{1}{-c}$）≥4，
∴$\frac{1}{-b}$+$\frac{1}{-c}$≥$\frac{4}{-b-c}$，即$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$≤$\frac{4}{b+c}$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}$≤$\frac{4}{b+c}$-$\frac{1}{b+c}$=$\frac{3}{b+c}$＜0，
故選：A．

點評 本題主要考查柯西不等式的運用，解題的關鍵是由條件正確判斷a，b，c的符號．