Question

10．如圖，⊙O與x軸的正半軸交點為A，點B，C在⊙O上，且B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$），點C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，則cos（$\frac{5π}{6}$-α）=（　　）

• A． -$\frac{4}{5}$
• B． -$\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由題意求得sinα，cosα的值，利用兩角差的余弦展開cos（$\frac{5π}{6}$-α）得答案．

解答 解：如圖，由B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$），得OB=OC=1，又BC=1，
∴∠BOC=$\frac{π}{3}$，∠AOB=$\frac{π}{3}-α$，由直角三角形中的三角函數(shù)的定義可得sin（$\frac{π}{3}-α$）=sin∠AOB=$\frac{3}{5}$，cos∠AOB=$\frac{4}{5}$
∴sinα=sin（$\frac{π}{3}-∠AOB$）=sin$\frac{π}{3}$cos∠AOB-cos$\frac{π}{3}$sin∠AOB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4}{5}-\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，
cosα=cos（$\frac{π}{3}-∠AOB$）=cos$\frac{π}{3}$cos∠AOB+sin$\frac{π}{3}$sin∠AOB
=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．
∴cos（$\frac{5π}{6}$-α）=$cos\frac{5π}{6}cosα+sin\frac{5π}{6}sinα\$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{4+3\sqrt{3}}{10}+\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}-3}{10}=-\frac{3}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查三角函數(shù)的定義，考查兩角差的正弦和余弦，是基礎(chǔ)題．