Question

20．如圖所示，在四棱錐A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，AB=BC=2，BE=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）證明：EF⊥BD；
（Ⅱ）在線段AE上是否存在一點(diǎn)G，使得二面角D-BG-E的大小為$\frac{π}{3}$？若存在，求$\frac{AG}{AE}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中點(diǎn)M，連接MF，ME，推導(dǎo)出MF⊥BD，ME⊥BD，由此能證明EF⊥BD．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{BA}$的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出存在一點(diǎn)G，且$\frac{AG}{AE}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，二面角D-BG-E的大小為$\frac{π}{3}$．

解答 證明：（Ⅰ）取BC的中點(diǎn)M，連接MF，ME，
∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB，
∴MF⊥平面BCDE，又BD?平面BCDE，∴MF⊥BD．
在Rt△MBE與Rt△BED中，
∵$\frac{MB}{BE}$=$\frac{BE}{ED}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴Rt△MBE∽R(shí)t△BED．
∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，
于是∠BEM+∠EBD=90°，∴ME⊥BD，
又∵M(jìn)F∩ME=M，∴BD⊥平面MEF，
又∵EF?平面MEF，∴EF⊥BD．…（5分）
解：（Ⅱ）∵AB⊥平面BCDE，四邊形BCDE為矩形，
∴以B為原點(diǎn)，分別以$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{BA}$的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AG=λAE，依題意可得B（0，0，0），C（2，0，0），
D（2，$\sqrt{2}$，0），A（0，0，2），E（0，$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（1，0，1），
∴$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{BA}$+λ$\overrightarrow{AE}$=（0，$\sqrt{2}$λ，2-2λ），$\overrightarrow{BD}$=（2，$\sqrt{2}$，0），
設(shè)平面BGD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}=\sqrt{2}λy+（2-2λ）z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{2}$，$\frac{λ}{1-λ}$），…（9分）
平面BGE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角D-BG-E的大小為$\frac{π}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3+（\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
∴存在一點(diǎn)G，且$\frac{AG}{AE}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，二面角D-BG-E的大小為$\frac{π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．