Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點(diǎn)．已知AB=3米，AD=2米．
（I）設(shè)AN=x（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于32平方米，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若x∈[3，4）（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：先由相似性表示AM，建立四邊形AMPN的面積模型，（I）解關(guān)于x的不等式；
（II）先對面積函數(shù)模型求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)法求最值．

解答：解：由于

DN

AN

=

DC

AM

，則AM=

3x

x-2

故S_AMPN=AN•AM=

3x2

x-2

（4分）
（1）由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32，
因?yàn)閤＞2，所以3x²-32x+64＞0，即（3x-8）（x-8）＞0
從而2＜x＜

8

3

或x＞8
即AN長的取值范圍是(2，

8

3

)∪(8，+∞)（8分）
（2）令y=

3x2

x-2

，則y′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

（10分）
因?yàn)楫?dāng)x∈[3，4）時，y′＜0，所以函數(shù)y=

3x2

x-2

在[3，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
從而當(dāng)x=3時y=

3x2

x-2

取得最大值，即花壇AMPN的面積最大27平方米，
此時AN=3米，AM=9米

點(diǎn)評：本題主要考查用相似性構(gòu)建邊的關(guān)系，建立平面圖形面積函數(shù)模型及導(dǎo)數(shù)法解模求最值的能力．