Question

已知函數f（x）=2-

ax+1

（a∈R）的圖象過點（4，-1）．
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域內有且只有一個零點．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：（1）把點代入函數解析式可得：-1=2-

4a+1

，求解即可得出a的值．
（2）可根據函數解析式判斷：f（x）是單調遞減函數，定義域為[-

1

2

，+∞），判斷出f（x）在其定義域內有一個零點．
且在（1，2）內，如果x₁＜x₂都是函數的零點，則f（x₁）=f（x₂）=0，單調遞減相矛盾可判斷出答案．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=2-

ax+1

（a∈R）的圖象過點（4，-1）．
∴-1=2-

4a+1

，3=

4a+1

，
a=2，
（2）函數f（x）=2-

2x+1

，
可根據函數解析式判斷：f（x）是單調遞減函數，定義域為[-

1

2

，+∞）
∴任意的x₁＜x₂，則f（x₁）＞f（x₂）
f（0）=1，
f（1）=2-

3

＞0
f（2）=2-

5

＜0，
∴f（x）在其定義域內有一個零點．且在（1，2）內，
如果x₁＜x₂都是函數的零點，
則f（x₁）=f（x₂）=0，
與單調遞減相矛盾，
所以可判斷f（x）在其定義域內有且只有一個零點．

點評：本題考查了函數的零點，函數的性質，反例判斷的方法，屬于中檔題．