Question

4．橢圓經(jīng)過點（3，0），且離心率是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，則該橢圓的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{81}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{81}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{81}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1

Answer 1

分析 由題意分橢圓焦點在x軸或y軸分類設出橢圓的標準方程，并得到a（或b）的值，結合已知條件即可求得答案．

解答 解：當橢圓焦點在x軸上時，設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則a=3，又$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，得c=2$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
當橢圓焦點在y軸上時，設橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則b=3，又$\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a²=81，b²=9，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{81}=1$．
∴橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1或$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{81}$=1．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的標準方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．