設(shè)，對任意實數(shù)t，記．

(Ⅰ)求函數(shù)y＝f(x)－g2(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)求證：(ⅰ)當(dāng)x＞0時，f(x)gf(x)≥g2(x)對任意正實數(shù)t成立；

(Ⅲ)有且僅有一個正實數(shù)x0，使得gx(x0)≥gt(x0)對任意正實數(shù)t成立．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：．

　　由，得

　　．

　　因為當(dāng)時，，

　　當(dāng)時，，

　　當(dāng)時，，

　　故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，

　　單調(diào)遞減區(qū)間是．

　　(Ⅱ)證明：(i)方法一：

　　令，則

　　，

　　當(dāng)時，由，得，

　　當(dāng)時，，

　　所以在內(nèi)的最小值是．

　　故當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．

　　方法二：

　　對任意固定的，令，則

　　，

　　由，得．

　　當(dāng)時，．

　　當(dāng)時，，

　　所以當(dāng)時，取得最大值．

　　因此當(dāng)時，對任意正實數(shù)成立．

　　(Ⅲ)方法一：

　　．

　　由(i)得，對任意正實數(shù)成立．

　　即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．

　　下面證明的唯一性：

　　當(dāng)，，時，

　　，，

　　由(i)得，，

　　再取，得，

　　所以，

　　即時，不滿足對任意都成立．

　　故有且僅有一個正實數(shù)，

　　使得對任意正實數(shù)成立．

　　方法二：對任意，，

　　因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：

　　，

　　即，①

　　又因為，不等式①成立的充分必要條件是，

　　所以有且僅有一個正實數(shù)，

　　使得對任意正實數(shù)成立．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=
x3
3
，對任意實數(shù)t，記gt(x)=t
2
3
x-
2
3
t．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）-g8（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：（�。┊�(dāng)x＞0時，f（x）≥gt（x）對任意正實數(shù)t成立；
（ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)x0，使得g8（x0）≥gt（x0）對任意正實數(shù)t成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=xlnx；對任意實數(shù)t，記gt（x）=（1+t）x-et．
（1）判斷f（x），gt（x）的奇偶性；
（2）（理科做）求函數(shù)y=f（x）-g2（x）的單調(diào)區(qū)間；
  （文科做）求函數(shù)y=log0.1（g2（x））的單調(diào)區(qū)間；
（3）（理科做）證明：f（x）≥gt（x）對任意實數(shù)t恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

(2007浙江，22)設(shè)，對任意實數(shù)t，記．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：①當(dāng)x＞0時，對任意正實數(shù)t成立；

②有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)t成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)，對任意實數(shù)t，記．
（I）求函數(shù)y=f（x）-g8（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）求證：（ⅰ）當(dāng)x＞0時，f（x）≥gt（x）對任意正實數(shù)t成立；
（ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)x，使得g8（x）≥gt（x）對任意正實數(shù)t成立．

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