【題目】已知拋物線E：焦點F，過點F且斜率為2的直線與拋物線交于A、B兩點，且．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)O是坐標原點，P，Q是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點，且

①證明：直線PQ必過定點，并求出定點G的坐標；

②過G作PQ的垂線交拋物線于C，D兩點，求四邊形PCQD面積的最小值．

【答案】（1）；（2）①見解析，②88

【解析】

(1) 設(shè)直線：，聯(lián)立：，利用焦半徑公式可得的值，進而可得拋物線E的方程；

(2) ①設(shè)直線PQ：聯(lián)立：得：，利用條件和韋達定理，可得的值，進而可得定點G的坐標；②求出和，進而表示出四邊形PCQD面積，利用換元法可求得最小值.

解：(1) 設(shè)直線：，聯(lián)立：，得：，

∵，

∴p = 2，

∴拋物線方程為：；

(2) ①設(shè)直線PQ：

聯(lián)立：得：，

∴，

∵，

∴或（舍），

∴

②

同理

，

設(shè)，∴，

∵在遞增，

∴當t = 2時，即時，∴

練習冊系列答案
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【題目】已知圓C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0.

（1）若圓C與直線l：x+2y﹣4＝0相交于M、N兩點，且|MN|，求m的值；

（2）在（1）成立的條件下，過點P（2，1）引圓的切線，求切線方程.

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【題目】設(shè)、是雙曲線： 的兩個焦點，是上一點，若，是△的最小內(nèi)角，且，則雙曲線的漸近線方程是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】已知.

（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，，，證明：（i）；（ii）.

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【題目】某地因受天氣，春季禁漁等因素影響，政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊對噸位為的20艘捕魚船一天的捕魚量進行了統(tǒng)計，如下表所示：

捕魚量(單位：噸)

頻數(shù)

2

7

7

3

1

根據(jù)氣象局統(tǒng)計近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表（捕魚期內(nèi)的每個晴好天氣漁船方可捕魚，非晴好天氣不捕魚）：

晴好天氣(單位：天)

頻數(shù)

2

7

6

3

2

（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表）

（Ⅰ）估計漁業(yè)捕撈隊噸位為的漁船一天的捕魚量的平均數(shù)；

（Ⅱ）若以（Ⅰ）中確定的平均數(shù)作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時一天的捕魚量.

①估計一艘上述噸位的捕魚船一年在捕魚期內(nèi)的捕魚總量；

②已知當?shù)佤~價為2萬元/噸，此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時，每天成本為10萬元/艘；若不捕魚，每天成本為2萬元/艘，請依據(jù)往年天氣統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的漸近線方程為，一個焦點為．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上的任意一點，分別作這兩條漸近線的平行線與這兩條漸近線得到四邊形，證明四邊形的面積是一個定值；

（3）設(shè)直線與在第一象限內(nèi)與漸近線所圍成的三角形繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，為橢圓的左、右焦點，過右焦點的直線與橢圓交于兩點，且的周長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點A是第一象限內(nèi)橢圓上一點，且在軸上的正投影為右焦點，過點作直線分別交橢圓于兩點，當直線的傾斜角互補時，試問：直線的斜率是否為定值；若是，請求出其定值；否則，請說明理由.

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【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如下表），得到了散點圖（如下圖）.

表中，.

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

（3）若單位時間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.

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