Question

已知函數(shù)，．
（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)，當(dāng)時，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是． （Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點處的切線斜率為在點處的導(dǎo)數(shù)值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，需明確定義域，再導(dǎo)數(shù)值的符號確定單調(diào)區(qū)間. 當(dāng)時，,所以的單調(diào)增區(qū)間為．當(dāng)時,令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間是；令，得，所以的單調(diào)減區(qū)間是．（Ⅲ）不等式恒成立問題，一般利用變量分離轉(zhuǎn)化為最值問題. “當(dāng)時，恒成立”
等價于“當(dāng)時，恒成立．”設(shè)，只要“當(dāng)時，成立．”
易得函數(shù)在處取得最小值，所以實數(shù)的取值范圍．
（Ⅰ）由已知得．
因為曲線在點處的切線與直線垂直，
所以．所以．
所以．                                            3分
（Ⅱ）函數(shù)的定義域是，．  
（1）當(dāng)時，成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為．
（2）當(dāng)時，
令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間是；
令，得，所以的單調(diào)減區(qū)間是．   
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，
的單調(diào)減區(qū)間是．         8分
（Ⅲ）當(dāng)時，成立，．    
“當(dāng)時，恒成立”
等價于“當(dāng)時，恒成立．”
設(shè)，只要“當(dāng)時，成立．”
．
令得，且，又因為，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；  
令得，，又因為，所以函數(shù)在上為增函數(shù)．
所以函數(shù)在處取得最小值，且．
所以．  又因為，
所以實數(shù)的取值范圍．                       13分
（Ⅲ）另解：
（1）當(dāng)時，由（Ⅱ）可知， 在上單調(diào)遞增，所以．
所以當(dāng)時，有成立．
（2）當(dāng)時， 可得．
由（Ⅱ）可知當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是，
所以在上單調(diào)遞增，又，所以總有成立．
（3）當(dāng)時，可得．
由（Ⅱ）可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
所以函數(shù)在處取最小值，
且．
當(dāng)時，要使成立，只需，
解得．所以．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍．