Question

7．已知函數(shù)f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0．

Answer 1

分析 由f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$=0，可得a=x（3-2x）e^x，令y=x（3-2x）e^x，則y′=-（x-1）（2x+3）e^x，取得函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，即可得出結(jié)論．

解答 解：由f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$=0，可得a=x（3-2x）e^x，（x≠0）
令y=x（3-2x）e^x，則y′=-（x-1）（2x+3）e^x，
∴x＜-$\frac{3}{2}$或x＞1時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，-$\frac{3}{2}$＜x＜0或0＜x＜1時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)取得極小值-9${e}^{-\frac{3}{2}}$，x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值e，
∵f（x）=（2x-3）e^x+$\frac{a}{x}$有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x趨于負(fù)無(wú)窮的時(shí)候y是趨于零的
∴-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0，
故答案為-9${e}^{-\frac{3}{2}}$＜a＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確分離變量是關(guān)鍵．