Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+（2m-1）x-mlnx．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意m∈（2，3）及x∈[1，3]時(shí)，恒有mt-f（x）＜1成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問題等價(jià)于mt-1＜f（x）_min，通過討論m 的范圍，求出t的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)m=1時(shí)，$f（x）={x^2}+x-lnx，f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{x+1}）}}{x}$，解得x=-1（舍去），$x=\frac{1}{2}$，
在$（{0，\frac{1}{2}}）$上遞減，在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上遞增，所以f（x）的極小值為$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{3}{4}+ln2$．
（2）$f'（x）=2x+（{2m-1}）-\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}+（{2m-1}）x-m}}{x}$，令f'（x）=0可得${x_1}=\frac{1}{2}，{x_2}=-m$．
①當(dāng)m≥0時(shí)，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{0，\frac{1}{2}}）$上單調(diào)遞減，
由f'（x）＞0可得f（x）在$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
②當(dāng)$-\frac{1}{2}＜m＜0$時(shí)，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{-m，\frac{1}{2}}）$上單調(diào)遞減，
由f'（x）＞0可得f（x）得在（0，-m）和$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
③當(dāng)$m=-\frac{1}{2}$時(shí)，由$f'（x）=\frac{{2{{（{x-\frac{1}{2}}）}^2}}}{x}≥0$可得f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
④當(dāng)$m＜-\frac{1}{2}$時(shí)，由f'（x）＜0可得f（x）在$（{\frac{1}{2}，-m}）$上單調(diào)遞減，
由f'（x）＞0可得f（x）得在$（{0，\frac{1}{2}}）$和（-m，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）由題意可知，對(duì)?m∈（2，3），x∈[1，3]時(shí)，恒有mt-1＜f（x）成立，等價(jià)于mt-1＜f（x）_min，
由（2）知，當(dāng)m∈（2，3）時(shí)，f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=2m，所以原題等價(jià)于?m∈（2，3）時(shí)，恒有mt-1＜2m成立，即$t＜2+\frac{1}{m}$．
在m∈（2，3）時(shí)，由$\frac{7}{3}＜2+\frac{1}{m}＜\frac{5}{2}$，故當(dāng)$t≤\frac{7}{3}$時(shí)，mt-1＜2m恒成立，∴$t≤\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．