Question

14．如圖，已知F₁、F₂是橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，直線l：y=k（x+1）經(jīng)過左焦點F₁，且與橢圓G交于A、B兩點，△ABF₂的周長為$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓G的標準方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得△ABF₂為等腰直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=1，4a=4$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2．即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論，假設(shè)|AF₂|=|BF₂|，利用作差法，即可求得x₁+x₂=6．（與x₁≤$\sqrt{3}$，x₂≤$\sqrt{3}$，x₁+x₂≤2$\sqrt{3}$＜6，矛盾），將直線方程代入橢圓方程由韋達定理：${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+2}}$=6，矛盾．故|AF₂|≠|(zhì)BF₂|．再證明AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得：${m^2}+{（2\sqrt{3}-m）^2}=4$，此方程無解．故不存在這樣的等腰直角三角形．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓G的半焦距為c，因為直線l與x軸的交點為（-1，0），故c=1．
又△ABF₂的周長為$4\sqrt{3}$，即$|{AB}|+|{A{F_2}}|+|{B{F_2}}|=4a=4\sqrt{3}$，故a=$\sqrt{3}$．
所以，b²=a²-c²=3-1=2．
因此，橢圓G的標準方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
注：本小題也可以用焦點和離心率作為條件，即將周長換離心率．
（Ⅱ）不存在．理由如下：先用反證法證明AB不可能為底邊，即|AF₂|≠|(zhì)BF₂|．
由題意知F₂（1，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)|AF₂|=|BF₂|，
則$\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{x_2}-1）}^2}+y_2^2}$，
又$\frac{x_1^2}{3}+\frac{y_1^2}{2}=1$，$\frac{x_2^2}{3}+\frac{y_2^2}{2}=1$，代入上式，消去$y_1^2，y_2^2$，得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-6）=0．
因為直線l斜率存在，所以直線l不垂直于x軸，所以x₁≠x₂，故x₁+x₂=6（與x₁≤$\sqrt{3}$，x₂≤$\sqrt{3}$，x₁+x₂≤2$\sqrt{3}$＜6，矛盾）．
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，得：（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+2}}$=6，矛盾．
故|AF₂|≠|(zhì)BF₂|．
再證明AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．
假設(shè)△ABF₂為等腰直角三角形，不妨設(shè)A為直角頂點．
設(shè)|AF₁|=m，則$|{A{F_2}}|=2\sqrt{3}-m$，
在△AF₁F₂中，由勾股定理得：${m^2}+{（2\sqrt{3}-m）^2}=4$，此方程無解．
故不存在這樣的等腰直角三角形．
注：本題也可改為是否存在直角三角形？會簡單一些．改為是否存在等腰三角形則不易計算，也可修改橢圓方程使存在等腰直角三角形．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，兩點之間的距離公式，考查計算能力，分類討論思想，屬于中檔題．