Question

18．一條光線(xiàn)從點(diǎn)A（-4，0）射入，與直線(xiàn)y=3相交于點(diǎn)B（-1，3），經(jīng)直線(xiàn)y=3反射后過(guò)點(diǎn)C（m，-1），直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C且分別與x軸和y軸的負(fù)半軸交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)△OPQ的面積最小時(shí)直線(xiàn)l的方程為（　　）

• A． $\frac{x}{4}$-$\frac{y}{4}$=1
• B． $\frac{x}{2}$-$\frac{y}{6}$=1
• C． $\frac{x}{6}$-$\frac{y}{2}$=1
• D． $\frac{x}{12}$-$\frac{3y}{4}$=1

Answer 1

分析 求出C的坐標(biāo)，利用基本不等式，即可求出當(dāng)△OPQ的面積最小時(shí)直線(xiàn)l的方程．

解答 解：直線(xiàn)AB的斜率為1，則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為y-3=-（x+1），
代入點(diǎn)C得m=3，即C（3，-1）．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＜0），則S_△OPQ=$\frac{1}{2}ab$，且$\frac{3}{a}+\frac{1}{-b}$=1≥2$\sqrt{\frac{3}{-ab}}$，即有-ab≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{a}=\frac{1}{-b}$，即a=6，b=-2等號(hào)成立，此時(shí)S_△OPQ取最小值6，直線(xiàn)l的方程為$\frac{x}{6}-\frac{y}{2}$=1
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查用截距式求直線(xiàn)方程的方法，基本不等式的應(yīng)用，正確運(yùn)用基本不等式是解題的關(guān)鍵．