Question

9．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且$PA=AD=DC=\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（1）求AC與PB所成的角的余弦值；
（2）求PC與平面AMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與PB所成的角的余弦值．
（2）求出平面AMC的法向量，由此利用向量法能求出PC與平面AMC所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），P（0，0，$\frac{1}{2}$），B（0，1，0），
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-$\frac{1}{2}$），
設(shè)AC與PB所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\frac{1}{2}|}{\sqrt{\frac{1}{2}}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴AC與PB所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…．（6分）
（2）M（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$），
設(shè)平面AMC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
設(shè)PC與平面AMC所成角為α，
則sinα=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴PC與平面AMC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．