Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）均為奇函數(shù)，設F（x）=af（x）+bg（x）+1．
（1）若F（-2）=10，求F（2）的值；
（2）若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，求F（x）在（-∞，0）上的最小值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）若F（-2）=10，根據(jù)函數(shù)的 奇偶性建立方程關系即可求F（2）的值；
（2）若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，構造函數(shù)F（x）-1為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求F（x）在（-∞，0）上的最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）、g（x）均為奇函數(shù)，設F（x）=af（x）+bg（x）+1．
∴F（-2）=af（-2）+bg（-2）+1=-af（2）-bg（2）+1=10．
則af（2）+bg（2）=1-10=-9，
則F（2）=af（2）+bg（2）+1=-9+1=-8；
（2）∵F（x）=af（x）+bg（x）+1．
∴F（x）-1=af（x）+bg（x）為奇函數(shù)．
若F（x）在（0，+∞）上有最大值4，
即函數(shù)F（x）-1在（0，+∞）上有最大值為4-1=3，
則根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可知函數(shù)F（x）-1在（-∞，0）上有最小值為-3，
即F（x）在（-∞，0）上的最小值為-3+1=-2．

點評：本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關鍵．