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5.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=2c,且A=C+\frac{π}{2}
(Ⅰ)求cosC的值;
(Ⅱ)當b=1時,求邊c的值.

分析 (I)由A=C+\frac{π}{2},可得sinA=sin(C+\frac{π}{2})=cosC,由a=\sqrt{2}c,利用正弦定理可得sinA=\sqrt{2}sinC,化簡即可得出.
(II)由(I)可得:cosC=\frac{\sqrt{6}}{3},sinC=\frac{\sqrt{3}}{3}.利用A=C+\frac{π}{2}.可得sinA=cosC,cosA.可得sinB=sin(A+C),再利用正弦定理可得\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}

解答 解:(I)∵A=C+\frac{π}{2},∴sinA=sin(C+\frac{π}{2})=cosC,
由a=\sqrt{2}c,∴sinA=\sqrt{2}sinC,
\sqrt{2}sinC=cosC,
∴tanC=\frac{\sqrt{2}}{2},∴C為銳角.
∴cosC=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
(II)由(I)可得:cosC=\frac{\sqrt{6}}{3},sinC=\frac{\sqrt{3}}{3}
∵A=C+\frac{π}{2}
∴sinA=cosC=\frac{\sqrt{6}}{3},cosA=-\frac{\sqrt{3}}{3}
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
=\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}
\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}
可得c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}

點評 本題考查了正弦定理、誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系式、和差公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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