Question

15．已知圓C的方程為x²+y²+8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為$-\frac{4}{3}≤k≤0$．

Answer 1

分析 將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心C的坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，即圓心到直線y=kx-2的距離小于等于2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答 解：將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+4）²+y²=1，
∴圓心C（-4，0），半徑r=1，
∵直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，
∴圓心（-4，0）到直線y=kx-2的距離d=$\frac{|-4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤2$，
解得：$-\frac{4}{3}$≤k≤0．
故答案為：$-\frac{4}{3}≤k≤0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．