Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lg（a+1-x）．
（1）若函數(shù)f（-x²）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程（x+1）10^f（x）=4在（0，2）有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）的值域?yàn)镽可得x²+a+1能取到一切正實(shí)數(shù)，從而可知△=-4（a+1）≥0，解出即得答案．
（2）將方程在（0，1）內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根化為函數(shù)在（0，1）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，從而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=lg（a+1-x）．
∴f（-x²）=lg（a+1+x²）．
因?yàn)閒（x）的值域?yàn)镽，所以x²+a+1能取到一切正實(shí)數(shù)，
則△=-4（a+1）≥0，
解得a≤-1，
（2）∵f（x）=lg（a+1-x）．
∴a+1-x＞0，x∈（0，2）
∴a≥1
∴10^f（x）=a+1-x，
∴方程（x+1）（a+1-x）=4
即方程為x²+ax+（3-a）在（0，2）有且僅有一個(gè)根，
則f（0）•f（2）＜0
即：（3-a ）•（a+7）＜0
即：（a-3）•（a+7）＜0，
解得 a＞3，或a＜-7，
綜上所述a＞3
實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題．