【題目】已知的兩個頂點坐標(biāo)是,的周長為是坐標(biāo)原點,點滿足.

(Ⅰ)求點的軌跡的方程;

(Ⅱ)設(shè)不過原點的直線與曲線交于兩點,若直線的斜率依次成等比數(shù)列,求面積的最大值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)1.

【解析】

(Ⅰ),的軌跡是以為焦點的橢圓(不含左右頂點).利用定義法求點軌跡方程,利用求出點的軌跡的方程即可.

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為與點的軌跡的方程聯(lián)解,利用根與系數(shù)關(guān)系與直線的斜率依次成等比數(shù)列建立方程求出,再求出弦長與.點到直線的距離.運用三角形面積公式建立關(guān)于的表達(dá)式求出最值.

(Ⅰ)已知,所以,點的軌跡是以為焦點的橢圓(不含左右頂點).

因為,,,所以,,.

所以,點的軌跡方程為.

設(shè),.得,,又.

故,點的軌跡的方程為,即.

(Ⅱ)由題意可知,直線的斜率存在且不為,

故可設(shè)直線的方程為,,

,消去,

,

,且,

.

∵直線的斜率依次成等比數(shù)列,

,又,所以,即.

,及直線的斜率存在,得,

,點到直線的距離

.

,當(dāng)時取等號,

此時直線的方程為,的最大值為.

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