Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\frac{{λ{(lán)a_n}^2+μ{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}$，其中n∈N^*，λ，μ為非零常數(shù)．
（1）若λ=3，μ=8，求證：{a_n+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是公差不等于零的等差數(shù)列．
①求實(shí)數(shù)λ，μ的值；
②數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n構(gòu)成數(shù)列{S_n}，從{S_n}中取不同的四項(xiàng)按從小到大的順序組成四項(xiàng)子數(shù)列．試問：是否存在首項(xiàng)為S₁的四項(xiàng)子數(shù)列，使得該子數(shù)列中點(diǎn)所有項(xiàng)之和恰好為2017？若存在，求出所有滿足條件的四項(xiàng)子數(shù)列；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）λ=3，μ=8時(shí)，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}^{2}+8{a}_{n}+4}{{a}_{n}+2}$=3a_n+2，化為：a_n+1+1=3（a_n+1），即可證明．
（2）①設(shè)a_n=a₁+（n-1）d=dn-d+1．由a_n+1=$\frac{{λ{(lán)a_n}^2+μ{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}$，可得：a_n+1（a_n+2）=$λ{(lán)a}_{n}^{2}+μ{a}_{n}$+4，
（dn-d+3）（dn+1）=λ（dn-d+1）²+μ（dn-d+1）+4，令n=1，2，3，解出即可得出．．
②由①可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．設(shè)存在首項(xiàng)為S₁的四項(xiàng)子數(shù)列，使得該子數(shù)列中點(diǎn)所有項(xiàng)之和恰好為2017．
則這四項(xiàng)為：三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，或者三個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)．
1^°三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)：設(shè)S₁，S_2x+1，S_2y+1，S_2z是滿足條件的四項(xiàng)，則1+（2x+1）²+（2y+1）²+（2z）²=2017，化為2（x²+x+y²+y+z²）=1007，矛盾，舍去．
2^°三個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)，設(shè)S₁，S_2x，S_2y，S_2z是滿足條件的四項(xiàng)，則1+（2x）²+（2y）²+（2z）²=2017，化為x²+y²+z²=504．由504為偶數(shù)，x，y，z中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)或者三個(gè)偶數(shù)．
（i）若x，y，z中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)，不妨設(shè)x=2x₁，y=2y₁+1，z=2z₁+1，則2$（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}+{y}_{1}+{z}_{1}^{2}+{z}_{1}）$=251，矛盾．
（ii）若x，y，z均為偶數(shù)，不妨設(shè)x=2x₁，y=2y₁，z=2z₁，則${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$+${z}_{1}^{2}$=126，則x₁，y₁，z₁中有兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)．不妨設(shè)x₁=2x₂，y₁=2y₂+1，z₁=2z₂+1，則${x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}+{y}_{2}+{z}_{2}^{2}+{z}_{2}$=31．依此類推分類討論即可得出．

解答 （1）證明：λ=3，μ=8時(shí)，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}^{2}+8{a}_{n}+4}{{a}_{n}+2}$=3a_n+2，化為：a_n+1+1=3（a_n+1），
∴：{a_n+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．
∴a_n+1=2×3^n-1，可得：a_n=2×3^n-1-1．
（2）解：①設(shè)a_n=a₁+（n-1）d=dn-d+1．由a_n+1=$\frac{{λ{(lán)a_n}^2+μ{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}$，可得：a_n+1（a_n+2）=$λ{(lán)a}_{n}^{2}+μ{a}_{n}$+4，
∴（dn-d+3）（dn+1）=λ（dn-d+1）²+μ（dn-d+1）+4，
令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．
經(jīng)過檢驗(yàn)滿足題意，可得：λ=1，μ=4，a_n=2n-1．
②由①可得：S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．設(shè)存在首項(xiàng)為S₁的四項(xiàng)子數(shù)列，使得該子數(shù)列中點(diǎn)所有項(xiàng)之和恰好為2017．
則這四項(xiàng)為：三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，或者三個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)．1^°三個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)：設(shè)S₁，S_2x+1，S_2y+1，S_2z是滿足條件的四項(xiàng)，則1+（2x+1）²+（2y+1）²+（2z）²=2017，化為2（x²+x+y²+y+z²）=1007，矛盾，舍去．
2^°三個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)，設(shè)S₁，S_2x，S_2y，S_2z是滿足條件的四項(xiàng)，則1+（2x）²+（2y）²+（2z）²=2017，化為x²+y²+z²=504．由504為偶數(shù)，x，y，z中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)或者三個(gè)偶數(shù)．
（i）若x，y，z中一個(gè)偶數(shù)兩個(gè)奇數(shù)，不妨設(shè)x=2x₁，y=2y₁+1，z=2z₁+1，則2$（{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}+{y}_{1}+{z}_{1}^{2}+{z}_{1}）$=251，矛盾．
（ii）若x，y，z均為偶數(shù)，不妨設(shè)x=2x₁，y=2y₁，z=2z₁，則${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$+${z}_{1}^{2}$=126，則x₁，y₁，z₁中有兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)．不妨設(shè)x₁=2x₂，y₁=2y₂+1，z₁=2z₂+1，則${x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}+{y}_{2}+{z}_{2}^{2}+{z}_{2}$=31．
∵y₂（y₂+1），z₂（z₂+1）均為偶數(shù)，∴x₂為奇數(shù)．不妨設(shè)0≤y₂≤z₂．
當(dāng)x₂=1時(shí)，則${y}_{2}^{2}$+y₂+${z}_{2}^{2}$+z₂=30，${y}_{2}^{2}$+y₂≤14，檢驗(yàn)可得：y₂=0，z₂=5，x₂=1．
當(dāng)x₂=3時(shí)，則${y}_{2}^{2}$+y₂+${z}_{2}^{2}$+z₂=22，${y}_{2}^{2}$+y₂≤10，檢驗(yàn)可得：y₂=1，z₂=4，x₂=3．
當(dāng)x₂=5時(shí)，則${y}_{2}^{2}$+y₂+${z}_{2}^{2}$+z₂=6，${y}_{2}^{2}$+y₂≤2，檢驗(yàn)可得：y₂=0，z₂=2，x₂=5．
即{S₁，S₄，S₈，S₄₄}，{S₁，S₁₂，S₂₄，S₃₆}，{S₁，S₄，S₂₀，S₄₀}為全部滿足條件的四元子列．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列通項(xiàng)公式、分類討論方法、數(shù)奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．