Question

10．已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，{b_n} 是公比為q的等比數(shù)列，q≠±1，正整數(shù)組E=（m，p，r）（m＜p＜r）
（1）若a₁+b₂=a₂+b₃=a₃+b₁，求q的值；
（2）若數(shù)組E中的三個(gè)數(shù)構(gòu)成公差大于1的等差數(shù)列，且a_m+b_p=a_p+b_r=a_r+b_m，求q的最大值．
（3）若b_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，a_m+b_m=a_p+b_p=a_r+b_r=0，試寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)組E和對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式a_n．（注：本小問不必寫出解答過程）

Answer 1

分析 （1）由a₁+b₂=a₂+b₃=a₃+b₁，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a₁+b₁q=${a}_{1}+d+_{1}{q}^{2}$=a₁+2d+b₁，化簡解出即可得出．
（2）a_m+b_p=a_p+b_r=a_r+b_m，即a_p-a_m=b_p-b_r，可得（p-m）d=b_m（q^p-m-q^r-m），同理可得：（r-p）d=b_m（q^r-m-1）．由m，p，r成等差數(shù)列，可得p-m=r-p=$\frac{1}{2}$（r-m），記q^p-m=t，解得t=$\frac{1}{2}$．即q^p-m=$\frac{1}{2}$，由-1＜q＜0，記p-m=α，α為奇數(shù)，由公差大于1，α≥3．可得|q|=$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{α}}$≥$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，即q$≤-（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，即可得出．
（3）滿足題意的數(shù)組為E=（m，m+2，m+3），此時(shí)通項(xiàng)公式為：a_n=$（-\frac{1}{2}）^{m-1}$$（\frac{3}{8}n-\frac{3}{8}m-1）$，m∈N^*．

解答 解：（1）∵a₁+b₂=a₂+b₃=a₃+b₁，∴a₁+b₁q=${a}_{1}+d+_{1}{q}^{2}$=a₁+2d+b₁，化為：2q²-q-1=0，q≠±1．
解得q=-$\frac{1}{2}$．
（2）a_m+b_p=a_p+b_r=a_r+b_m，即a_p-a_m=b_p-b_r，∴（p-m）d=b_m（q^p-m-q^r-m），
同理可得：（r-p）d=b_m（q^r-m-1）．
∵m，p，r成等差數(shù)列，∴p-m=r-p=$\frac{1}{2}$（r-m），記q^p-m=t，則2t²-t-1=0，
∵q≠±1，t≠±1，解得t=$\frac{1}{2}$．即q^p-m=$\frac{1}{2}$，∴-1＜q＜0，
記p-m=α，α為奇數(shù)，由公差大于1，∴α≥3．
∴|q|=$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{α}}$≥$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，即q$≤-（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$，
當(dāng)α=3時(shí)，q取得最大值為-$（\frac{1}{2}）^{\frac{1}{3}}$．
（3）滿足題意的數(shù)組為E=（m，m+2，m+3），此時(shí)通項(xiàng)公式為：a_n=$（-\frac{1}{2}）^{m-1}$$（\frac{3}{8}n-\frac{3}{8}m-1）$，m∈N^*．
例如E=（1，3，4），a_n=$\frac{3}{8}n-\frac{11}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．